Biokybernetika - Modelovací techniky - Všichni Všem


Materiál je formátu doc

Modelovací techniky

Detail materiálu

Autor:
Přidáno: 23.09.2010 10:22
Kategorie: Poznámky
Předmět: Biokybernetika
Známka: Nehodnoceno
Hodnoceno: x
Popis: Modelovací techniky


Stáhnout materiál

Oznámkuj materiál: 1 2 3 4 5

Nahlásit materiál

Doporučit přátelům




Náhled materiálu: Pozor! Náhled nemusí odpovídat skutečnosti. (v náhledu chybí obrázky a formátování se může lišit)

 1.1 Modelovací techniky

Existuje celá řada možností a přístupů, jak vytvořit model daného reálného systému. Každá z těchto technik má své klady stejně tak jako zápory a každá se hodí na určité modely více než na jiné. Mezi nejznámější techniky patří např. kompartmentové modelování, celulární a jiné konečné automaty, Petriho sítě, modely systémů hromadné obsluhy atd.

1.1.1 Kompartmentové modelování

Kompartmentové modely popisují reálný systém graficky pomocí blokových schémat. Jednotlivé bloky, kompartmenty, jsou diskrétní oblasti, které je možné nějakým způsobem logicky či kineticky odlišit od okolí. Dále uvažujeme, že kompartmenty jsou homogenní, tzn. že každý kousek látky, který do kompartmentu vstoupí, je ve stejném stavu, jako všechny ostatní části látky v kompartmentu.
Kompartmenty jsou mezi sebou spojeny kanály, kterými protéká určitá látka, jejíž dynamika nás zajímá. Tyto kanály idealizujeme. Předpokládáme, že mají nulový objem, čili veškerá látka se v každém časovém okamžiku nachází pouze v kompartmentech, nemůže se tedy stát, že by určité množství látky bylo v těchto kanálech.
Jako vstup kompartmentu označujeme přivedení sledované látky z okolí tohoto kompartmentu dovnitř či syntézu této látky přímo uvnitř kompartmentu.
Jako výstup kompartmentu označujeme „odchod“ sledované látky z kompartmentu, či její transformaci v jinou formu.
Pomocí kompartmentového modelování se řeší takové úlohy, ve kterých rychlost změny určité látky závisí na množství látky, jež do kompartmentu vstoupilo a vystoupilo.
Rovnice pro jednokompartmentový systém s n vstupy a m výstupy (schématický obrázek viz obr. č. 2):


Obrázek č. 2 : Schéma jednokompartmentového systému s n vstupy a m výstupy

• x(t)…stavová proměnná kompartmentu; popisuje stav látky, kterou sledujeme
• un(t)…proměnné, které popisují průběh vstupních veličin
• kiin…vstupní rychlostní konstanty
• kiout…výstupní rychlostní konstanty

Kompartmentové modelování se úspěšně využívá například v medicíně. Někdy je složité sledovat vývoj stavové veličiny různých kompartmentů. V těchto případech se pro usnadnění využívá tzv. tracerů, což je látka se stejnými kinetickými vlastnostmi, jaké mají sledované částice. Tracery se po aplikování do systému rychle rozptýlí do sledovaného prostoru.
Příkladem využití traceru je například zjišťování poruchy ledvin. Tracerem je radioaktivní jod, který je pacientovi vpraven do krve. Díky radioaktivnímu záření jodu je možné tracer sledovat a poté určit diagnózu. V dnešní době se ale usiluje a nahrazení radioaktivních izotopů jinými, stálými izotopy.

1.1.2 Forresterova systémová dynamika

- spíše ekonomický a ekologický model – navržen, aby umožnil predikce vlivu některých, ve světovém měřítku důležitých jevů (znečištění, stav zásob přírodních zdrojů, kapitálových investic do průmyslu a zemědělství) na stav obyvatelstva na Zemi a kvalitu lidského života. 45 let stará metoda, velmi omezená, ale vhodná jako metoda způsobu myšlení (vyjadřování závislostí mezi objekty).

Př: Vývoj populace jelenů


Dle grafického zobrazení se sestavují matematické rovnice:

, y(0), p, …

1.1.3 Petriho sítě

Petriho sítě patří mezi grafické a matematické nástroje, které jsou vhodné pro modelování a analýzu systémů diskrétních událostí. Struktura modelovaného distribuovaného systému je reprezentována orientovaným bipartitním grafem s ohodnocením.
Petriho sítě obsahují:
• místa (places): obsahují stavovou informaci ve formě značek (tokenů); v grafech jsou reprezentována jako kolečka
 vstupní místa: místa, ze kterých vedou hrany do přechodu
 výstupní místa: místa, do kterých vedou hrany z přechodu
• přechody (transitions): vyjadřují možné změny stavu; jejich aktivováním dochází k přesunu tokenů mezi místy, jež daný přechod spojuje; v grafech reprezentovány jako obdélníky
• hrany (arcs): určují logické vazby; mohou být pouze mezi místem a přechodem, není možné, aby hrana spojovala dvě místa či dva přechody
• značky – tokeny (tokens): jejich počet vyjadřuje stavovou informaci systému; rozložení značek v daném časovém okamžiku se nazývá označkování

Petriho síť je možno vyjádřit jako následující šestici:
• P…množina míst
• T…množina přechodů
• F…množina hran, platí:
• W : F N+…váhová funkce, jež každé hraně přiřazuje číslo, které nám říká, kolik tokenů touto hranou projde
• C : P N …vyjadřuje kapacitu jednotlivých míst
• M0 : P N…počáteční označkování

Jestliže je ve vstupních místech dostatečný počet tokenů a zároveň je ve výstupních místech dostatečná kapacita, říkáme, že je přechod proveditelný. Proveditelnost (uschopněnost) přechodu je nutnou, nikoliv však postačující, podmínkou k jeho aktivaci. U některých typů Petriho sítí musí být splněny ještě jiné podmínky, aby mohlo dojít k aktivaci přechodu. Odpálení (aktivace) přechodu znamená, že dojde k převedení tokenů ze vstupních míst do míst výstupních, čímž se změní stav systému. Současně může být uschopněno více přechodů, tzn. více přechodů může odpálit současně, může se ale také stát, že nebude uschopněn přechod ani jeden a k odpálení nedojde.

Petriho sítě obecně můžeme klasifikovat do tří skupin:
• Petriho sítě úrovně 1: tokeny jsou typu boolean, tj. místa mohou obsahovat maximálně jeden nestrukturovaný token
• Petriho sítě úrovně 2: místa mohou být označena více nestrukturovanými tokeny
• Petriho sítě úrovně 3: tokeny těchto sítí jsou strukturované a často je k nim připojena další informace
Postupem času musela být tato klasifikace doplněna o nové typy Petriho sítí, mezi nejznámější patří například barevné PS, časované PS, stochastické PS, modulární PS, PS s prioritami, PS s inhibičními hranami atd.

Příklad: Mějme 5 míst: P1 = počet stěn, P2 = počet oken, P3 = počet dveří, P4 = počet střech a P5 = počet domů. Dále mějme 1 přechod T, který je uschopněn, obsahuje-li místo P1 alespoň 4 tokeny, místo P2 libovolný počet tokenů, místo P3 a místo P4 alespoň 1. Aktivací přechodu se odeberou tokeny následujícím způsobem: P1 – 4 tokeny, P2 – libovolný počet tokenů, P3 – libovolný počet tokenů (minimálně 1), P4 – 1 token. Aktivace přechodu znamená postavení domu – v místě P5 přibude 1 token. 

1.1.4 Modely systémů hromadné obsluhy

Systém hromadné obsluhy (SHO) reprezentuje takový systém, jež slouží k uspokojování požadavků, které do tohoto systému vstupují právě za účelem jejich uspokojení. Po uspokojení požadavku odchází tento požadavek z SHO výstupní linkou.

Základními částmi SHO jsou (viz obr. č.3):
• vstupní linka: přichází jí do systému nové požadavky
• obslužný kaná: jsou jím uspokojovány požadavky
• fronta: obsahuje požadavky, které nemohou být uspokojeny okamžitě (např. z důvodu „obsazení“ obslužného kanálu jiným požadavkem)

Obrázek č. 3: Základní schéma systému hromadné obsluhy

Možností, jak klasifikovat SHO, je celá řada. Můžeme jej klasifikovat podle vstupního či výstupního toku, počtu jednotek v kanále, typu frontového režimu, režimu provozu kanálu, uspořádání kanálů, vlastní obsluhy apod.
Velký význam má tzv. Kendallova klasifikace SHO:
• X…typ vstupního toku
• Y…pravděpodobnostní popis doby obsluhy
• n…počet paralelních kanálů obsluhy
Pro X a Y byla zavedena následující symbolika:
• D…deterministický charakter
• M…exponenciální rozdělení
• N…normální rozdělení
• G…zcela obecné rozdělení
• Ek…Erlangovo rozdělení
• …

Kendallova klasifikace ovšem neklasifikuje SHO zcela, proto se následně rozšířila:
Rozšířená Kendallova klasifikace:
• u…udává kapacitu SHO - množství požadavků, jež může být současně v SHO
• v… celkový počet požadavků, jež může do SHO přijít
Platí: , kde f vyjadřuje kapacitu fronty v SHO.

Analýzou SHO můžeme vypočítat například průměrný počet požadavků ve frontě, průměrnou dobu čekání požadavku na uspokojení, či jejich průměrnou dobu pobytu v SHO. Cílem této analýzy je zjištění takových informací, které nám pomohou SHO navrhnout či optimalizovat.
Graficky SHO popisuje tzv. graf přechodů, který nám říká, s jakou pravděpodobností dojde v SHO ke změně stavu. Jednotlivé stavy SHO zakreslujeme jako kolečka a dovnitř tohoto kolečka zapisujeme stav, který reprezentuje.
V praxi je bohatě zastoupena především třída Markovských (lépe Markovových) modelů SHO, což jsou takové SHO, jež mají Poissonovo exponenciální rozdělení vstupního toku a doby obsluhy. Můžeme tedy říci, že dané systémy mají vlastnost PASTA (Poisson Arrivals See Time Averages): pravděpodobnost, s jakou najde nově příchozí požadavek systém ve stavu A je shodná s pravděpodobností, že systém se nachází ve stavu A. Současně lze Markovův model definovat jako model, jehož následující stav závisí pouze na stavu aktuálním.
Pro jednoduchost uvažujme SHO typu s intenzitou vstupního toku λ a intenzitou obsluhy μ. Jevy, které mohou v takovémto SHO nastat v časových okamžicích jsou čtyři:
• příchod nového požadavku:
• obsloužení požadavku:
• vznik nového požadavku a zároveň ukončení obsluhy:
• nedojde k žádné události:
Graf přechodů SHO typu viz Příloha A.3.
Dynamiku chování SHO lze popsat rovnicí: ,
• …vektor pravděpodobností jednotlivých stavů SHO v čase t
• …matice pravděpodobností přechodů ze stavu i do stavu j za časový okamžik

Matici přechodů můžeme přepsat na tvar:
• I…jednotková matice
• A…matice intenzity přechodů
Při této úvaze můžeme rovnici dynamiky SHO upravit:

Provedeme další úpravy:

Provedeme limitní přechod :
Musí být splněna podmínka:
Ovšem tímto postupem jsme dostali soustavu nekonečně mnoha diferenciálních rovnic prvního řádu, jejíž řešení je složité. Většinou nás ale zajímá ustálené, stacionární, chování SHO. A protože pro ustálený stav platí rovnost , přechází soustava diferenciálních rovnic na soustavu rovnic algebraických: , jejíž řešení složité již není.

1.1.5 Celulární automaty

Celulární automat (CA) je matematický model nějakého reálného systému s diskrétním prostorem i časem. Největší uplatnění nachází CA při simulaci prostorových dynamických systémů, např. šíření epidemie, metabolismus, doprava atd. Často se využívají také v modelech umělého života či evoluce, při tvorbě fraktálů apod.
CA je složen ze sítě buněk, kde rozměr této sítě závisí na druhu CA (1D, 2D, 3D…). Tato síť (pole buněk) může být konečná či nekonečná, stejně tak nemusí být vždy čtvercová, může se použít např. hexagonální. Buňka je základním elementem CA a může nabývat jednoho z konečného množství stavů. Další důležitou vlastností CA je okolí buňky, které má na danou buňku vliv. Mezi druhy okolí patří tři základní:

 

Dále u CA definujeme pravidla, což je funkce, jež podle aktuálního stavu buňky a podle stavu buněk v jejím okolí určí stav buňky v následujícím časovém okamžiku. Velmi často se v praxi používají takové CA, jejichž buňky mohou nabývat pouze dvou stavů: mrtvá x živá.

Příklad: Příkladem využití CA je například šíření epidemie. Uvažujeme, že epidemie se šíří kontaktem mezi infikovaným a vnímavým jedincem (jsou-li tyto dvě buňky v okolí). Dále uvažujeme délku nemoci na n taktů (např. dnů). Po prodělání nemoci je získána dočasná imunita a to na m taktů. Stav buňky tedy bude vyjádřen číslem. Vnímavý jedinec bude ve stavu 0. Bude-li stav buňky v rozmezí 1…n, bude se jednat o infikovaného jedince a konečně bude-li stav buňky v rozmezí n+1…m, jedná se o imunního jedince. V každém taktu se bude


...
pokud chcete materiál celý, musíte si jej stáhnout (stažení je zdarma)

 
novinky

Přidat komentář

Ohodnoť materiál Modelovací techniky.


 
typ

Podobné materiály

Podobné materiály k materiálu: Modelovací techniky

lupa
Rychlá navigace
přejdi rychleji k hledaným materiálům


 
statistika
Statistika
Jak jsme na tom?

Studentů: 38414
Materiálů střední školy: 3603
Materiálů vysoké školy: 1593
Středních škol: 806
Vysokých škol: 63



© 2010 - 2019 Všichni Všem - Smluvní podmínky | Kde to jsem? | Kontakty | Reklama
Tento web používá k poskytování služeb, personalizaci reklam a analýze návštěvnosti soubory cookie. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte. Další informace