komplexní čísla - Všichni Všem

komplexní čísla

Zavedení
Komplexní čísla jsou jakousi nadstavbou čísel reálných.V oboru reálných čísel se nedá odmocnit záporné číslo,což nám nedovoluje řešit kvadratické rovnice se záporným diskriminantem.

Algebraický tvar
Definice komplexního čísla
Komplexní číslo a je uspořádaná dvojice reálných čísel(a_1,a_2 ),kde:
a_1-reálná část
a_2-imaginární část
Zapisuje se:a=(a_1,a_2 ) nebo a=a_1+a_2 i
Algebraický tvar(Symbolický zápis):〖a=a〗_1+a_2 i,kde i je imaginární jednotka,pro kterou platí:i^2=-1

Gaussova rovina
Obrazem komplexního čísla a=(a_1,a_2 ) je bod roviny A[a_1,a_2 ].Této rovině říkáme Gaussova rovina nebo rovina komplexních čísel

zobrazení:
|a|=√(a_1^2+a_2^2 )

Zobrazení v Gaussově rovině

Goniometrický tvar,velikost argumentu,převody

a=a_1+a_2 i=|a| cos⁡〖α+i|a|〗 sin⁡〖α,odtud〗
a=|a|(cos⁡α+i sin⁡α )-goniometrický tvar komplexního čísla

počítání
Rovnost,součet,rozdíl
Nechť a=a_1+a_2 i=b_1+b_2 i .Platí:
a=b⇔ a_1=b_1∧a_2=b_2
(a_1+a_2 i)+(b_1+b_2 i )=(a_1+b_1 )+(a_2+b_2 )i
(a_1+a_2 i)-(b_1+b_2 i )=(a_1-b_1 )+(a_2-b_2 )i
Součin
(a_1+a_2 i)∙(b_1+b_2 i )=(a_1 b_1-a_2 b_2 )+(a_1 b_2+a_2 b_1 )i
Mocniny imaginárních jednotek
i^1=i;i^2=-1;i^3=-i;i^4=1
i^(4k+m)=i^4k+i^m=1∙i^m=i^m ,kde k∈N,m∈{0,1,2,3}
Platí:a¯a=(a_1+a_2 i)(a_1-a_2 i)=a_1^2+a_2^2
|a|=√(a¯a)

Podíl
Jsou dána komplexní čísla a=a_1+a_2 i=b_1+b_2 i,přičemž b≠0
c= a/b=a/b∙¯b/¯b=(a¯b)/(b_1^2+b_2^2 )=c_1+c_2 i

Součin,podíl komplexních čísel v goniometrickém tvaru
Nechť a=|a|(cos⁡α+i sin⁡α ),b=|b|(cos⁡β+i sin⁡β ),b≠0.Platí:
a∙b=|a|∙|b|∙[cos⁡〖(α+β)+i sin⁡(α+β) 〗 ]
a/b=|a|/|b| ∙[cos⁡〖(α-β)+i sin⁡(α-β) 〗 ]
Př:a∙b=2(cos⁡〖〖115〗^o+i sin⁡〖〖115〗^o 〗 〗 )∙3(cos⁡〖〖55〗^o+i sin⁡〖〖55〗^o 〗 〗 )=6(cos⁡〖〖170〗^o+i sin⁡〖〖170〗^o 〗 〗 )
a/b=8(cos⁡〖〖180〗^o+ i sin⁡〖〖180〗^o 〗 〗 )/4(cos⁡〖〖30〗^o+ i sin⁡〖〖30〗^o 〗 〗 ) =2(cos⁡(〖180〗^o-〖30〗^o )+ i sin⁡(〖180〗^o-〖30〗^o ) )
=2(cos⁡〖〖150〗^o+ i sin⁡〖〖150〗^o 〗 〗 )