geometrická posloupnost - Všichni Všem


Materiál je formátu doc

geometrická posloupnost

Detail materiálu

Autor:
Přidáno: 19.01.2011 12:33
Kategorie: Maturitní otázky
Předmět: Matematika
Známka: 1.6
Hodnoceno: 9x
Popis: geometrická posloupnost vypracované ve wordu


Stáhnout materiál

Oznámkuj materiál: 1 2 3 4 5

Nahlásit materiál

Doporučit přátelům




Náhled materiálu: Pozor! Náhled nemusí odpovídat skutečnosti. (v náhledu chybí obrázky a formátování se může lišit)

Geometrická posloupnost


Posloupnost (a_n )_1^∞ se nazývá geometrická,právě když existuje takové reálně číslo q,že pro každé
přirozené číslo n platí

 

rekurentní vztah:∀ n∈N;a_(n+1)=a_n∙q (7)

Možnosti zadání:
n-tý člen
Vzorec:a_n=a_1∙q^(n-1) (9)

Vztah pro libovolné dva členy
r,s∈N:a_r=a_s∙q^(r-s) (10)

rekurentní vzorec
Rekurentní vzorec určuje člen posloupnosti pomocí znalosti jednoho nebo více předcházejících členů. Pozor ! Součástí každého rekurentního vzorce musí být zadání prvního, případně několika prvních členů posloupnosti.
Nevýhodou zadání pomocí rekurentního vzorce je to, že libovolný člen posloupnosti můžeme určit jen tehdy, pokud známe členy předcházející. Což, pokud chceme určit např. 109. člen, je trochu nepříjemné.

Př 1:rekurentní vzorec je zadán :a_(n+1)= a_n - 1/2 a_1=5
a_1=5
n=1 a_2=a_(1+1)= a_1 - 1/2=5-1/2 = 9/2
n=2 a_3=a_(2+1)= a_2 - 1/2=9/2-1/2 = 8/2=4
K={9/2,4├ ..} ┤

Vztah pro součet prvních n členů
q=1⟹s_n=a_1∙n (11)
q≠1⟹s_n=a_1∙(q^n-1)/(q-1) (12)

(geometrický průměr)
Pro n>1 platí: |a_n |=√(a_(n-1)∙a_(n+1) ) (13)

Př 2:Určete první čtyři členy geometrické posloupnosti a znázorněte je graficky(grafem),dále určete 10. člen a součet prvních 8 členů,je-li dáno:a_1=-4,q=1/2


Řešení
K výpočtu použijem vtah (7)

Grafem je množina izolovaných bodů

Pro určení 10. členu použijeme vztah (9),pro součet osmi prvních členů vztah (12)
a_n=a_1∙q^(n-1) s_n=a_1∙(q^n-1)/(q-1)
a_10=a_1∙q^(10-1) s_8=-4∙((1/2)^8-1)/(1/2-1)
a_10=-4∙(1/2)^9 s_8=-4∙(1/256-1)/(-1/2)
a_10=-1/128 〖 s〗_8=-255/32

První čtyři členy posloupnosti jsou -4,-2,-1,- 1/2,desátý člen posloupnosti je-1/128 a součet prvních osmi členů je -255/32

Př 3:
a)V geometrické posloupnosti je dáno:a_3=18,a_5=162.Určete součet prvních osmi členů
b)V geometrické posloupnosti platí:a_2-a_4=60
a_1-a_3=15
Určete a_1,q
Řešení
a)Určíme kvocient ze vztahu (10) .
a_r=a_s∙q^(r-s)
a_5=a_3∙q^(5-3)
〖 a〗_5=a_3∙q^2
Dostaneme ryze kvadratickou rovnici,vyjdou nám tedy dvě posloupnosti, s kladným
kvocientem a záporným kvocientem
Pak určíme ze vztahu (7) první člen
Zajímá nás ještě a_1
162=18∙q^2 〖 a〗_3=a_1∙q^(3-1)
9=q^2 〖 a〗_3=a_1∙q^2
|q|=3 q_1=3 q_2=-3 18=a_1∙9
a_1=2

První posloupnost:a_1=2,q=3
Druhá posloupnost:a_1=2,q=-3

Ze vztahu (12) určíme s_8 pro první i druhou posloupnost
1.s_8=2∙(3^8-1)/(3-1)=2∙(6561-1)/(3-1)=6 560
2. s_8=2∙((-3)^8-1)/(-3-1)=2∙(6561-1)/(-4)=-3 280
Součet prvních osmi členů dané posloupnosti je 6 560,popř. -3280
b)V soustavě rovnic vyjádříme členy a_2 až a_4 pomocí (10) prvního členu a kvocientu a provedeme úpravy pomocí vytýkání.Pak obě rovnice navzájem dělíme a získáte q,dopočítáme a_1 dosazením do jedné z rovnic.

a_1 q^(2-1)-a_1 q^(4-1)=60 Dosadíme do rovnice a_1∙(1-q^2 )=15
a_1 q^(1-1)-a_1 q^(3-1)=15 〖 a〗_1∙(1-4^2 )=15
a_1 q-a_1 q^3=60 〖 a〗_1∙(1-16)=15
a_1-a_1 q^2=15 a_1∙(-15)=15
a_1 q(1-q^2 )=60 〖 a〗_1=-1
a_1 (1-q^2 )=15
q= 60/15
q=4
V dané geometrické posloupnosti je a_1=-1,q=4
 


...
pokud chcete materiál celý, musíte si jej stáhnout (stažení je zdarma)

 
novinky

Přidat komentář

Ohodnoť materiál geometrická posloupnost.


 
typ

Podobné materiály

Podobné materiály k materiálu: geometrická posloupnost

lupa
Rychlá navigace
přejdi rychleji k hledaným materiálům


 
statistika
Statistika
Jak jsme na tom?

Studentů: 34425
Materiálů střední školy: 3520
Materiálů vysoké školy: 1571
Středních škol: 751
Vysokých škol: 63



© 2010 - 2017 Všichni Všem - Smluvní podmínky | Kde to jsem? | Kontakty | Reklama
Tento web používá k poskytování služeb, personalizaci reklam a analýze návštěvnosti soubory cookie. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte. Další informace