geometrická posloupnost - Všichni Všem

Geometrická posloupnost

Posloupnost (a_n )_1^∞ se nazývá geometrická,právě když existuje takové reálně číslo q,že pro každé
přirozené číslo n platí

rekurentní vztah:∀ n∈N;a_(n+1)=a_n∙q (7)

Možnosti zadání:
n-tý člen
Vzorec:a_n=a_1∙q^(n-1) (9)

Vztah pro libovolné dva členy
r,s∈N:a_r=a_s∙q^(r-s) (10)

rekurentní vzorec
Rekurentní vzorec určuje člen posloupnosti pomocí znalosti jednoho nebo více předcházejících členů. Pozor ! Součástí každého rekurentního vzorce musí být zadání prvního, případně několika prvních členů posloupnosti.
Nevýhodou zadání pomocí rekurentního vzorce je to, že libovolný člen posloupnosti můžeme určit jen tehdy, pokud známe členy předcházející. Což, pokud chceme určit např. 109. člen, je trochu nepříjemné.

Př 1:rekurentní vzorec je zadán :a_(n+1)= a_n - 1/2 a_1=5
a_1=5
n=1 a_2=a_(1+1)= a_1 - 1/2=5-1/2 = 9/2
n=2 a_3=a_(2+1)= a_2 - 1/2=9/2-1/2 = 8/2=4
K={9/2,4├ ..} ┤

Vztah pro součet prvních n členů
q=1⟹s_n=a_1∙n (11)
q≠1⟹s_n=a_1∙(q^n-1)/(q-1) (12)

(geometrický průměr)
Pro n>1 platí: |a_n |=√(a_(n-1)∙a_(n+1) ) (13)

Př 2:Určete první čtyři členy geometrické posloupnosti a znázorněte je graficky(grafem),dále určete 10. člen a součet prvních 8 členů,je-li dáno:a_1=-4,q=1/2

Řešení
K výpočtu použijem vtah (7)

Grafem je množina izolovaných bodů

Pro určení 10. členu použijeme vztah (9),pro součet osmi prvních členů vztah (12)
a_n=a_1∙q^(n-1) s_n=a_1∙(q^n-1)/(q-1)
a_10=a_1∙q^(10-1) s_8=-4∙((1/2)^8-1)/(1/2-1)
a_10=-4∙(1/2)^9 s_8=-4∙(1/256-1)/(-1/2)
a_10=-1/128 〖 s〗_8=-255/32

První čtyři členy posloupnosti jsou -4,-2,-1,- 1/2,desátý člen posloupnosti je-1/128 a součet prvních osmi členů je -255/32

Př 3:
a)V geometrické posloupnosti je dáno:a_3=18,a_5=162.Určete součet prvních osmi členů
b)V geometrické posloupnosti platí:a_2-a_4=60
a_1-a_3=15
Určete a_1,q
Řešení
a)Určíme kvocient ze vztahu (10) .
a_r=a_s∙q^(r-s)
a_5=a_3∙q^(5-3)
〖 a〗_5=a_3∙q^2
Dostaneme ryze kvadratickou rovnici,vyjdou nám tedy dvě posloupnosti, s kladným
kvocientem a záporným kvocientem
Pak určíme ze vztahu (7) první člen
Zajímá nás ještě a_1
162=18∙q^2 〖 a〗_3=a_1∙q^(3-1)
9=q^2 〖 a〗_3=a_1∙q^2
|q|=3 q_1=3 q_2=-3 18=a_1∙9
a_1=2

První posloupnost:a_1=2,q=3
Druhá posloupnost:a_1=2,q=-3

Ze vztahu (12) určíme s_8 pro první i druhou posloupnost
1.s_8=2∙(3^8-1)/(3-1)=2∙(6561-1)/(3-1)=6 560
2. s_8=2∙((-3)^8-1)/(-3-1)=2∙(6561-1)/(-4)=-3 280
Součet prvních osmi členů dané posloupnosti je 6 560,popř. -3280
b)V soustavě rovnic vyjádříme členy a_2 až a_4 pomocí (10) prvního členu a kvocientu a provedeme úpravy pomocí vytýkání.Pak obě rovnice navzájem dělíme a získáte q,dopočítáme a_1 dosazením do jedné z rovnic.

a_1 q^(2-1)-a_1 q^(4-1)=60 Dosadíme do rovnice a_1∙(1-q^2 )=15
a_1 q^(1-1)-a_1 q^(3-1)=15 〖 a〗_1∙(1-4^2 )=15
a_1 q-a_1 q^3=60 〖 a〗_1∙(1-16)=15
a_1-a_1 q^2=15 a_1∙(-15)=15
a_1 q(1-q^2 )=60 〖 a〗_1=-1
a_1 (1-q^2 )=15
q= 60/15
q=4
V dané geometrické posloupnosti je a_1=-1,q=4