derivace funkce v bodě intervalu - Všichni Všem

Definice derivace

Mějte funkci f definovanou v jistém okolí bodu x_0.Existuje-li vlastní limita.
lim┬(△x→0)⁡〖(f(x_0+△x)-f(x_o ))/(△x)〗
△x=〖x-x〗_0
nazýváme ji definicí funkce f v bodě x_0

Př.1:Vypočtěte derivace funkcí f:y=x^2 a g:y=x v bodě x_0 ∈R.

Řešení:
f^' (x_o )=lim┬(x→x_0 )⁡〖(f(x_0+(〖x-x〗_0 ) )-f(x_0))/〖x-x〗_0 〗=lim┬(x→x_0 )⁡〖(f(x)-f(x_0))/〖x-x〗_0 〗=lim┬(x→x_0 )⁡〖(x^2-x_0^2)/〖x-x〗_0 〗=lim┬(x→x_0 )⁡〖(〖x-x〗_0 )(〖x+x〗_0 )/〖x-x〗_0 〗=
=lim┬(x→x_0 )⁡〖(〖x+x〗_0 )=2x_0 〗

g^' (x_0 )=lim┬(x→x_0 )⁡〖(g(x_0+(〖x-x〗_0 ) )-g(x_0))/〖x-x〗_0 〗=lim┬(x→x_0 )⁡〖(g(x)-g(x_0))/〖x-x〗_0 〗=lim┬(x→x_0 )⁡〖〖x-x〗_0/〖x-x〗_0 〗=lim┬(x→x_0 )⁡1=1

derivace některých funkcí
f(x) Podmínky D_f f^' (x) D_f'
k k∈R R 0 R
x^n n ϵ N R nx^(n-1) R
x^n n ϵ Z^- R-{0} nx^(n-1) R-{0}
x^n n ϵ R-Z (0;+∞) nx^(n-1) (0;+∞)
sin⁡x R cos x R
cos x R -sin⁡x R
tg x {x∈R;cos⁡〖x≠0〗 } 1/(cos^(2 ) x) {x∈R;cos⁡〖x≠0〗 }
cotg x {x∈R;sin⁡〖x≠0〗 } -1/(sin^2 x) {x∈R;sin⁡〖x≠0〗 }
e^x R e^x R
a^x a>0,a≠1 R a^x ln⁡a R
ln⁡x (0;+∞) 1/x (0;+∞)
log_a⁡x a>0,a≠1 (0;+∞) 1/(x ln⁡a ) (0;+∞)
arcsin⁡x ⟨-1;1⟩ 1/√(1-x^2 ) (-1;1)
arccos⁡x ⟨-1;1⟩ -1/√(1-x^2 ) (-1;1)
arctg x R 1/(1+x^2 ) R
arcotg x R -1/(1+x^2 ) R

věty o derivování
Jestliže funkce f a g mají v bodě x_0 derivaci.má v bodě x_0 derivaci i součet,rozdíl,součin
Je-li g(x_0)≠0 tak i podíl

součet:(f+g)^' (x_0 )=f^' (x_0 )+g'(x_0 )
rozdíl:(f-g)^' (x_0 )=f^' (x_0 )-g'(x_0 )
součin:(f∙g)^' (x_0 )=f^' (x_0 )g(x_0 )+f(x_0 )g'(x_0 )
podíl:(f/g)^' (x_0 )=(f^' (x_0 )g(x_0 )-f(x_0 ) g^' (x_0 ))/(g^2 (x_0 ) )

složená funkce
Jestliže funkce z=g(x) má derivace v bodě x_0 a jestliže funkce y=f(z) má derivace v bodě z_0=g(x_0 )
,má složená funkce y=(f∘g)(x)=f(g(x)) derivace v bodě x_0 a paltí:

(f∘g)^' (x)=f^' (g(x_0 ))∙g^' (x_0 )

Př.2:Vypočtěte derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru:
a)y=(x^5+2x+1)^7 b)y=sin^2 (x^2-3x)

Řešení:
a)Funkce y=(x^5+2x+1)^7 je složena z funkcí y=z^7,z=x^5+2x+1.Postupně mají tyto funkce derivace v každém bodě z∈R,x∈R.Tedy y^'=(z^7 )^'∙(x^5+2x+1)^'=7z^6∙(5x^4+2)=
=7(x^5+2x+1)^6∙(5x^4+2)=
(2x)^'=2∙x^0=2∙1=2
1^'=0-viz tabulka nahoře druhý žádek