binomická věta - Všichni Všem


Materiál je formátu doc

binomická věta

Detail materiálu

Autor:
Přidáno: 19.01.2011 12:30
Kategorie: Maturitní otázky
Předmět: Matematika
Známka: 1.5
Hodnoceno: 9x
Popis: vypracované ve wordu


Stáhnout materiál

Oznámkuj materiál: 1 2 3 4 5

Nahlásit materiál

Doporučit přátelům




Náhled materiálu: Pozor! Náhled nemusí odpovídat skutečnosti. (v náhledu chybí obrázky a formátování se může lišit)

Binomická věta


Pro každé a,b∈C a pro každé n∈N platí:
(a+b)^n=(■(n@0)) a^n b^0+(■(n@1)) a^(n-1) b+(■(n@2)) a^(n-2) b^2+………+(■(n@k)) a^(n-k) b^k+…….(■(n@n)) a^0 b^n=
=∑_(k=0)^n▒(n¦k) a^(n-k) b^k

Př1: Vypočtěte (m+x)^5
-čerpáme také poznatky z 19)b.
(m+x)^5=(5¦0) m^5 x^0+(5¦1) m^4 x+(5¦2) m^3 x^2+(5¦3) m^2 x^3+(5¦4)mx^4+(5¦5)+m^0 x^5=
Použijeme z kapitoli 19)b. Výpočet faktoriálního čísla (n¦k)=n!/(n-k)!k! a toho 〖-n〗^0,n^0=1
=5!/5!0! m^5+5!/4!1! m^4 x+ 5!/3!2! m^3 x^2+5!/2!3! m^2 x^3+5!/1!4! mx^4+5!/0!5!+x^5=

=1/0! m^5+5/1 m^4 x+ (5∙4)/2 m^3 x^2+(5∙4)/2 m^2 x^3+5/1 mx^4+1/0 x^5=
m^5+5m^4 x+10m^3 x^2+10m^2 x^3+5mx^4+x^5

Př2: Vypočtěte (-u+x)^6
(-u+x)^6=(6¦0) (-u)^6 x^0+(6¦1) (-u)^5 x+(6¦2) (-u)^4 x^2+(6¦3) (-u)^3 x^3+(6¦4) (-u)^2 x^4+(6¦5)-ux^5+(6¦6) (-u)^0 x^6=(6¦0) u^6 x^0+(6¦1) 〖-u〗^5 x+(6¦2) u^4 x^2+(6¦3) 〖-u〗^3 x^3+
(6¦4) u^2 x^4+(6¦5)-ux^5+(6¦6) (-u)^0 x^6
Využijeme vztahů z předchozího příkladu a po vypočítání binomického koeficientu
u^6-6u^5 x+15u^4 x^2-60u^3 x^3+15u^2 x^4-6ux^5+x^6

 

Př 3:Určete jedenáctý člen binomického rozvoje výrazu (-x^4+1)^15
Řešení
Výpočet 11 členu:k+1=11
k=10
binomický rozvoj:(n¦k) a^(n-k) b^k=(15¦10) (-x^4 )^(15-10) 1^10=15!/5!10! (-x^4 )^5 1= (15∙14∙13∙12∙12)/(5∙4∙3∙2)=(-x)^20=-3 003x^20

Př 4:Určete prostřední člen binomického rozvoje výrazu výraz (√a+∛a)^12
Řešení
Počet členů: n+1=12+1=13 členů
Prostřední člen je sedmý,⟹k=6 pak platí:
(n¦k) a^(n-k) b^k=(12¦6) (√a)^(12-6) (∛a)^6=12!/6!6! √(a^6 ) ∛(a^6 )=(12∙11∙10∙9∙8∙7)/(6∙5∙4∙3∙2) a^(6/2) a^(6/3)=924a^3∙a^2=924a^5

Př 5:Určete dva prostřední členy binomického rozvoje výrazu (b-√b)^15
Řešení
Počet členů: n+1=15+1=16 členů
Prostřední člen je osmý,⟹k=8 a další bližší je další menší k=7 pak platí:

Pro k=8
(n¦k) a^(n-k) b^k=(15¦8) (b)^(15-8) (-√b)^8=15!/7!8! b^7 √(b^8 )=(15∙14∙13∙12∙11∙10∙9)/(7∙6∙5∙4∙3∙2) b^7 b^(8/2)=6 435b^7 b^4==6 435b^11

Pro k=7
(n¦k) a^(n-k) b^k=(15¦7) (b)^(15-7) (-√b)^7=15!/8!7! b^8 (-√b)^7=6 435∙b^8∙-√(b^7 )=-6 435 b^8 √(b^6∙b^1 )=
=-6 435 b^8 b^(6/2) √b=-6 435 b^8 b^3 √b=-6435b^11 √b

Př 6:Kolikátý člen binomického rozvoje výraz (9x^7-2/x^3 )^10 je absolutní?
Řešení
Má-li být člen binomického rozvoje absolutní,znamená to,že neobsahuje x,tj. obsahuje x^0 ,neboť x^0=0.
Určíme k ,pak hledaný člen bude k+1
Platí:
(n¦k) a^(n-k) b^k=(10¦k) (9x^7 )^(10-k) (-2/x^3 )^k=M∙(x^7 )^(10-k) 〖∙(x^(-3) )〗^k
kde M je koeficient k-tého členu.k určíme řešením exponenciální rovnice
(x^7 )^(10-k) 〖∙(x^(-3) )〗^k=x^0
〖 x〗^(70-10k)∙x^(-3k)=x^0
〖 x〗^(70-10k)=x^0
70-10k=0
 


...
pokud chcete materiál celý, musíte si jej stáhnout (stažení je zdarma)

 
novinky

Přidat komentář

Ohodnoť materiál binomická věta.


 
typ

Podobné materiály

Podobné materiály k materiálu: binomická věta

lupa
Rychlá navigace
přejdi rychleji k hledaným materiálům


 
statistika
Statistika
Jak jsme na tom?

Studentů: 37986
Materiálů střední školy: 3584
Materiálů vysoké školy: 1587
Středních škol: 806
Vysokých škol: 63



© 2010 - 2019 Všichni Všem - Smluvní podmínky | Kde to jsem? | Kontakty | Reklama
Tento web používá k poskytování služeb, personalizaci reklam a analýze návštěvnosti soubory cookie. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte. Další informace